Грэцкі філосаф Зянон Элейскі жыў каля 490-430 гадах да нашай эры і сфармуліраваў некалькі парадоксаў прысвечаных руху. Я хачу разглядзець падрабязней парадокс пра Ахілеса і чарапаху. Але варта дадаць, што гэты парадокс ужо быў вырашаны з пункту гледжання матэматыкі. Пасля адкрыцця схадзяшчыхся шэрагаў сам парадокс вырашыўся з матэматычнага пункту гледжання. Бо сумма бясконцага шэрагу, ці геаметрычнай прагрэсіі можа быць роўная канечнаму ліку. А значыць, Ахілес усё ж такі дагоніць чарапаху.

Мая цікавасць палягае ў візуалізацыі гэтага парадокса, ды і ўвогулле, дзвух рухаючыхся аб’ектаў з дапамогай графікаў. І крытыцы гэтага інструменту. Я буду разглядаць парадокс пра Ахілеса і чарапаху з дапамогай графікаў класічнай і рэляцявісцкай механікі.

Фармулёўку парадоксу бяру з Вікіпедыі:

Ахілес спаборнічае ў бегу з чарапахай. Ахілес дае чарапахе фору ў 100м, напрыклад. Улічваем, што кожны ўдзельнік бяжыць з пастаяннай хуткасцю, адна больш за другую. Праз нейкую канечную адзінку часу Ахілес прабяжыць 100м, што прывядзе яго да кропкі, з якой пачынала чарапаха. За гэты час чарапаха прабяжыць значна болей кароткую дыстанцыю ў 2м. У Ахілеса зойме яшчэ час прабяжаць гэтую дыстанцыю, а чарапаха тымчасам прапаўзе далей.

Калі Ахілес дасягае кропкі, дзе была чарапаха, ён кожны раз мае дадатковую дыстанцыю, якую неабходна прайсці, каб дасягнуць чарапаху.

(Huggett, Nick (2010). “Zeno’s Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2011-03-07.)

Для таго, каб працаваць з гэтым парадоксам далей, я мушу абраць у ім асноўныя палажэнні, якія лічацца дастатковымі для Зянона. 

1. Ахілес дае чарапахе фору ў Х метраў. Адсюль мы маем разуменне, што яны пачынаюць з розных кропак.
2. Хуткасці, з якімі бягуць героі, пастаянныя. Адна больш за другую. Хуткасць Ахілеса больш за хуткасць чарапахі.
3. Калі Ахілес прабяжыць 100м, чарапаха прасунецца на 2м.

Класічная механіка

Каб разважаць у межах класічнай механікі, я мушу задаць гэтыя межы:

1. Ідэя Ісаака Ньютана пра абсалютны час.
2. Прынцып адноснасці Галілея.
3. Дэкартава сістэма каардынат.

Спачатку разглядзім выпадак, калі рух герояў парадокса прамалінейны.

У гэтым выпадку, ведаючы, што хуткасць пастаянная, мы маем наступную формулу:

Дзе s – адлегласць паміж кропкай пачаку руху і кропкай сканчэння руху,

v – хуткасць руху,

t – час.

Дзякуючы формуле мы можам знайсці адносіны хуткасцяў Ахілеса і чарапахі. Яны маюць абсалютны час, і ён аднолькавы для кожнага пры праходжанні кожнага крока.

t₁ – першы інтэрвал часу.

Хуткасць Ахілеса ў 50 разоў болей за хуткасць чарапахі. Я раблю вывад, што лічба 50 з’яўляецца толькі прыватным выпадкам парадокса, і можна замяніць яе любой лічбай болей за 1.

Можна абагульніць:

v_a/v_t > 1  – дае вынік, што Ахілес дагоніць чарапаху,

v_a/v_t < 1  – дае адваротны вынік, што Ахілес не дагоніць чарапаху.

Для ілюстрацыі скарыстаюся Дэкартавай сістэмай каардынат і намалюю графікі для выпадку, калі v_a/v_t = 10. У гэтым выпадку графік атрымоўваецца прыгажэйшы і лепшы для разумення.

Вазьму v_t=0.1 м/c, v_a=1м/c. Тады, калі фора была 100м, Ахілес пройдзе гэтую адлегласць за 100с, за гэты час чарапаха прапаўзе 10м.

Дэкартава сістэма каардынат выдатна спраўляецца з задачай візуалізацыі! Трэба сказаць, што тут я разглядаю Эўклідаву прастору, прастору плашчыні ліста. І на графіку вы можаце бачыць, што кропка перасячэння дзвух ліній і будзе кропкай іх сустрэчы.

Час і месца сустрэчы Ахілеса і чарапахі можна знайсці як з графіка, так і з ураўненняў іх руху: 

x_t= 0.1t+100; 

x_a= 1t. 

Реляцявісцкая механіка

Каб разважаць у межах реляцявісцкай механікі, я буду выкарыстоўваць наступныя ідэі:

1. Спецыяльная тэорыя адноснасці Эйнштэйна.
2. Дыяграмы Мінкоўскага.

Каб рэляцявісцкія эфекты былі заўважны, нам трэба паставіць мыслены эксперымент, у якім Ахілес і чарапаха рухаюцца з хуткасцямі, блізкімі да хуткасці святла. Захаваем гэтую ж прапорцыю: v_a/v_t = 10. І будзем лічыць у адзінках хуткасці святла с= 3*10⁸м/c. Хай v_t = 0.01с , v_a= 0.1с. 

Цяпер можна пабудаваць дыяграму Мінкоўскага.

На дыяграмах Мінкоўскага розныя хуткасці паказаны праз розны вугал нахілу часу і каардынаты рухаючыйся сістэмы адліку адносна нерухомай. Графік, што адпавядае вуглу 45° адпавядае руху светлавога промня.

На дыяграме мы бачым 3 сістэмы адліку:

1. Зянона (пакоячаяся сістэма каардынат)
2. Ахілеса (рухаючаяся з хуткасцю v_a= 0.1с )
3. Чарапахі (рухаючаяся з хуткасцю v_t = 0.01с )

Я ўяўляю, што сістэма адліку Зянона не рухаецца. Ён стаіць і назірае за Ахілесам і чарапахай. Ахілес знаходзіцца ў пачатку каардынат у сваёй сісіэме адліку і будзе рухацца ўздоўж восі часу. Рухацца ўздоўж уласнай восі каардынат ён не будзе, бо гэта сістэма адліку з ім і звязаная. Для чарапахі сітуацыя аналагічна, як для Ахілеса: яна мае сваю сістэму адліку і будзе рухацца ўздоўж восі часу.

У кропцы перасячэння восяў часу Ахілеса і чарапахі яны сустрэнуцца.

На думку Зянона гэта адбудзецца адначасова, у адзін момант часу.

На першы погляд графікі класічнай і рэляцявісцкай механікі падобныя. У кожным есць кропка сустрэчы. Але адрозненняў значна больш:

1. У дэкартавых каардынатах усе адлегласці мы можам сцвердзіць і пералічыць геаметрычна. У дыяграмах Мінкоўскага, мы пабачым, што гэта зрабіць не атрымаецца. 
2. Розніца таксама ў тым, што нахіл лініі, уздоўж якой адбываецца рух, у дэкартавай сістэме каардынат можа быць ад 0 да 90°, а на дыяграмах Мінскоўскага ад 0 да 45°.
3. На дыяграмах Мінкоўскага ў кожнай сістэме каардынат да моманту сустрэчы пройдзе розны час. Гэтаму адпавядае розны адрэзак часу на кожнай сістэме адліку. Гэта не перашкодзіць сустрэчы герояў! 

Працягваючы апошні пункт развагаў, падлічу, як будзе адрознівацца час у Ахілеса, Зянона і чарапахі.

На дыяграмах Мінкоўскага не выконваецца візуальная адпаведнасць даўжыні з даўжынёй рэальнай. У трохкутніку OTS катэт OT больш за гіпатэнузу OS. Аналагічна,

У O’T’S катэт O’T’ больш за гіпатэнузу O’S. Нам неабходна параўнаць OS і O’S. Гэта можна зрабіць праз трансфармацыі Лорэнца:

t’ – час у рухаючайся сістэме адліку,

t – час у пакоючайся сістэме адліку.

Атрымоўваецца, што ў сістэме адліку Ахілеса пройдзе меньш часу да сустрэчы, у параўнанні з часам у сісітэме адліку чарапахі, і яшчэ меньш у параўнанні з часам, які пройдзе ў сістэме адліку Зянона t_z=1*OT.

Гэта неадпавяданне дыяграмаў Мінкоўскага Эўклідавай геаметрыі плашчыні паперы, ў якой мы іх малюем, вызывае дыскамфорт і, на мой погляд, складанасць у разуменні. І таму я фармулюю для сябе задачу: ці магчыма нейкім іншым спосабам візуалізіраваць рух аб’ектаў, якія маюць калясветлавую хуткасць?

Рух у трохмернай прасторы

Хаця і Ахілес і чарапаха рухаюцца ўздоўж адной прамой, адной восі, на графіку мы маем дзве восі: каардынату і час. Гэта задача ў дзвух вымярэннях.

Сцвярджаю тут, што весці гаворку пра аднамерную прастору не мае сэнсу ўвогулле, бо толькі наяўнасць другога вымярэння дае магчымасць назіраць змены.

Таксама да таго часу пакуль Ахілес і чарапаха рухуюцца толькі уздоўж адной восі, ці адной лініі, мы можам сцвярджаць пра спаборніцьва паміж імі. Яно будзе зададзена межамі іх агульнай сцежкі.

Але, калі разглядаць падрабязней межы сцежкі, то ўзнікае пытанне: якой максімальнай шырыні можа быць сцежка, каб разглядаць гурояў як спаборцаў?

Таксама будзе важна, каб сцежка захоўвала сваю шырыню, ці мела невялічкія адхіленні, што магчыма пры Эўклідавай прасторы. Скрыўленую прастору я пакуль не разглядаю.

Наступнае цікавае пытанне: якой мінімальнай шырыні мусіць быць сцежка, каб Ахілес і чарапаха сустрэліся і не размінуліся? Згодна з квантавай механікай і прынцыпам невызначанасці Гейзенберга мы можам вымераць палажэнне і хуткасць часціцы з пагрэшнасцю пастаяннай Планка. І можам лічыць гэтую велічыню як мінімальную.